Question

【题目】如图1所示，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．

（1）若|x+2y-10|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后△AOB的面积；

（2）如图2，所示，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（3）如图3所示，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，设∠AGH=α，∠BGC=β，试探究出α和β满足的数量关系并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）1秒钟后△AOB的面积=4；（2）点A、B在运动的过程中，∠P的大小不变，∠P=45°，理由见解析；（3）α=β，理由见解析.

【解析】

（1）解二元一次方程组求出x、y，得到OA、OB的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义得到∠PAB=∠EAB，∠PBA=∠FBA，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）作GM⊥BF于点M，根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算．

（1）由题意得，，

解得， ，

由题意得，1秒钟后OA=2，OB=4，

则1秒钟后△AOB的面积= ×2×4=4；

（2）点A、B在运动的过程中，∠P的大小不变，∠P=45°，

理由如下：∵∠AOB=90°

∴∠OAB+∠OBA=90°

∴∠EAB+∠FBA=270°，

∵AP平分∠EAB，

∴∠PAB=∠EAB，

同理，∠PBA=∠FBA，

∴∠PAB+∠PBA=（∠EAB+∠FBA）=135°，

∴∠P=180°-135°=45°；

（3）α=β，

理由如下：作GM⊥BF于点M，

∠AGH=90°- ∠EAC

=90°- （180°-∠BAC）

= ∠BAC，

∠BGC=∠BGM-∠CGM

=90°-∠ABC-（90°-∠ACF）

= （∠ACF-∠ABC）

= ∠BAC

∴∠AGH=∠BGC，即α=β．