Question

【题目】如图，中，AB=AC,,点D，E分别在AB,BC上，,点F为DE的延长线与AC的延长线的交点.

（1）求证：DE=EF

（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；

（3）若,,求BD的长。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1.

【解析】

（1）由∠BAC=90°，则可得∠EAD+∠FAE=∠EDA+∠AFE，再根据∠EAD=∠EDA，即可得AE=DE，∠FAE=∠AFE，继而可推得DE=EF；

（2）在BE边上取一点M，使得ME=CE，连接DM，证明△DEM≌△FEC，从而可得DM=CF，∠MDE=∠CFE，继而可得DM//CF ，再根据等腰三角形的性质及判定即可得BD=DM，继而得BD=CF；

（3）过点E作交AD于点N，设BD=x>0，则有DN=，DE=AE=，EN= ，在Rt△END中，利用勾股定理即可求得答案.

（1）∵∠BAC=90°，

∴∠EAD+∠FAE=∠EDA+∠AFE=90°，

∵∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∠FAE=∠AFE，

∴AE=EF=DE，

∴DE=EF；

（2）BD=CF，理由如下：

在BE边上取一点M，使得ME=CE，连接DM，

∵DE=EF，∠DEM=∠CEF，

∴△DEM≌△FEC (SAS)，

∴DM=CF，∠MDE=∠CFE，

∴DM//CF ∴∠BDM=∠BAC=90°，

∵AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠DMB=45°，

∴BD=DM，

∴BD=CF；

（3）过点E作交AD于点N，

∵AE=DE，EN⊥AD，∴AN=DN，

∵AB=3，AE=，

∴设BD=x>0，则有DN=，DE=AE=，

∵EN⊥AD，∠ABC=45°，

∴∠NEB=45°，∴BN=EN=x+=，

在Rt△END中，DN2+NE2=DE2，

即（）2+（）2=（）2，

∴x=1，

即BD=1.