Question

【题目】如图所示，AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，AD=3，AB=4．

（1）求AC长度的取值范围；

（2）求EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）2＜AC＜10；（2）EF= 6.

【解析】

（1）延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，由“SAS”可得△ABD≌△MCD，可得AB=MC=4，∠BAD=∠M，由三角形三边关系可求解；
（2）由“SAS”可证△AEF≌△CMA，可得EF=AM=6．

（1）延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，

∴AD=DM，AM=2AD=6，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

∵在△ABD和△MCD中，

，

∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴AB=MC=4，∠BAD=∠M，

∵AM-MC＜AC＜AM+MC

∴2AD-MC＜AC＜2AD+MC

∴2＜AC＜10

（2）∵AB=AE，

∴AE=MC，

∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠EAB=∠FAC=90°，

∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，

∴∠BAC+∠EAF=180°，

∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，

∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，

即∠BAC+∠MCA=180°，

∴∠EAF=∠MCA．

∵在△AEF和△CMA中，

，

∴△AEF≌△CMA（SAS），

∴EF=AM=6