Question

【题目】如图，△ABC中，∠A=40°，

(1)若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；

(2)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；

(3)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；

(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度数(用含β的代数式表示，直接写出结果)

Answer 1

【答案】(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC =70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P=β+90°；(2)中∠P=90°-β；(3)中∠P=β．

【解析】

（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB的度数，根据点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，可知的度数，再次利用三角形内角和定理即可得出∠P度数；

（2）由三角形的外角和定理可以得到∠DBC与∠BCE关于∠A的关系，再利用三角形内角和定理即可求出答案；

（3）由三角形的外角和定理和角平分线的定义可以得到∠P=，即可得出答案；

（4）由（1）（2）（3）证明过程，容易得到答案.

(1)∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°，

∴∠BPC=180°-70°=110°；

(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，

∵P为△ABC两外角平分线的交点，

∴∠DBC=∠A+∠ACB，

同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

∴(∠ACB+∠ABC)=90°-∠A，

∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，

∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°-∠A，

∴∠BPC=90°-∠A=70°；

(3)∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点

∴

∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC

∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC

∴

(4)若在(1)中；在(2)中，同理得；在(3)中同理可得∠P=β．