Question

【题目】综合与实践

问题情境

在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点．

图1 图2 图3

（1）问题探究

①若，，求的长度；（写出计算过程）

②若，，则___________；（直接写出结果）

（2）继续探究

“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．

③若，求的度数；（写出计算过程）

④若，则_____________；（直接写出结果）

（3）深入探究

“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则__________．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）①3；②；（2）③40；④40；（3）

【解析】

（1）①先求出BC，再根据中点求出AM、BN，即可求出MN的长；

②利用①的方法求MN即可；

（2）③先求出∠BOC，再利用角平分线的性质求出∠AOM，∠BON，即可求出∠MON；

④利用③的方法求出∠MON的度数；

（3）先求出∠BOC，利用角平分线的性质分别求出∠AOM，∠BON，再根据角度的关系求出答案即可.

（1）①∵，，

∴BC=AB-AC=4，

∵是的中点，是的中点．

∴， ，

∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3；

②∵，，

∴BC=AB-AC=a-b，

∵是的中点，是的中点．

∴，，

∴MN=AB-AM-BN==，

故答案为：；

（2）③∵，，

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50，

∵，分别平分和，

∴∠AOM=15，∠BON=25，

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40；

④∵，，

∴∠BOC=(80-m)，

∵，分别平分和，

∴∠AOM=，∠BON=（40-m），

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40,

故答案为：40；

（3）∵，，

∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)，

∵和的角平分线分别是，，

∴∠AOM=,∠CON=，

∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=，

故答案为：.