Question

【题目】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D在直线BC上，E在AC上，且AC＝CD，DE＝AB．

（1）如图②，将△ECD沿CB方向平移，使点E落在AB上，得△E1C1D1，求平移的距离；

（2）如图③，将△ECD绕点C逆时针旋转，使点E落在AB上，得△E2CD2，求旋转角∠DCD2的度数．

Answer 1

【答案】（1）平移距离为2﹣；（2）30°．

【解析】

（1）证明Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），得出BC＝CE，再利用含30度角的直角三角形的性质得出BE1＝2BC1，结合勾股定理求出BC1即可得出结论；

（2）△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE2的度数，易得：∠ECE2＝∠BAC＝30°，则答案可求出．

（1）解：∵∠ACB＝90°

∴∠ECD＝90°，

∵AC＝CD，DE＝AB．

∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），

∴BC＝CE，

∵∠A＝30°，AB＝4，

∴BC＝AB＝2，

∴CE＝2，

由平移知，C1E1∥AC，C1E1＝CE＝2，

∴∠BE1C1＝∠A＝30°，

∴BE1＝2BC1，

∴BE12﹣BC12＝C1E12，

即：4BC12﹣BC12＝4，

∴BC1＝，

∴CC1＝BC﹣BC1＝2﹣；

即平移距离为2﹣，

故答案为：2﹣．

（2）解：旋转角∠DCD2的度数是△ECD绕点C旋转的度数，即∠ECE2的度数；

∵∠ABC＝60°，BC＝CE2＝2，AB＝4，

∴△E2BC是等边三角形，

∴BC＝E2C＝E2B＝2，

∴AE2＝E2C＝2，

∴∠E2AC＝∠E2CA，

∴∠ECE2＝∠BAC＝30°，

∴∠DCD2＝∠ECE2＝30°，

故答案为：30°．