Question

【题目】如图，一次函数 分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线 过A、B两点.

（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于点M，交这个抛物线于点N.求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 分别交y轴、x轴于A.、B两点，
∴A、B点的坐标为：A(0,2)，B(4,0)，
将x=0，y=2代入y=x+bx+c得c=2，
将x=4，y=0，c=2代入y=x+bx+c得0=16+4b+2，解得b= ，
∴抛物线解析式为：
（2）解：如图1，

由题意可知，直线MN即是直线 ，
∵点M在直线 上，点N在抛物线 上，
∴点M、N的坐标分别为 、 ，
∵在第一象限中，点N在点M的上方，
∴MN= ，
∴当 时，MN最长=4；
（3）解：由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5).
以A. M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如图2所示：

(i)当D在y轴上时，设D的坐标为(0，a)
由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，
从而D1为(0，6)或D2(0，2)，
(ii)当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
由D1、D2、M、N的坐标可求得直线D1N的解析式为：y= x+6，直线D2M的解析式为：y= x2，
由 解得 ，
∴D3的坐标为：(4，4)，
综上所述，所求的D点坐标为(0，6)，(0，2)或(4，4)
【解析】（1）先求出直线y=-x+2与x轴、y轴的交点B、A的坐标，再将点A、B的坐标分别代入二次函数解析式，建立方程求出b、c的值，就可得出二次函数解析式。
（2）根据直线x=t，在第一象限交直线AB于点M，交这个抛物线于点N，可知点M、N的横坐标都为t，根据两函数解析式可得出两点的纵坐标，再根据MN=点N的纵坐标-点M的纵坐标，列出MN关于t的函数解析式，求出顶点坐标，即可得到MN有最大值时t的值即MN的长。
（3）抓住已知条件在（2）的情况下MN=4，要以A、M、N、D为顶点作平行四边形，根据点D的位置情况分两种：当(i)当D在y轴上时，设D的坐标为(0，a)，根据MN=4即|a2|=4，求出a的值，得到点D的坐标由两个；(ii)当D不在y轴上时，即是以MN为平行四边形的对角线时，可知D3为D1N与D2M的交点，再求出直线D1N的解析式和直线D2M的解析式，然后将两一次函数解析式联立方程组求解即可得出点D的坐标。