Question

【题目】已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．

①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；

②如图2，若0°＜∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：

Answer 1

【答案】（1）①=；②∠BCA＝180°－∠α，详见解析；（2）EF＝BE＋AF

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出结论；

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出结论；

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出结论．

（1）①∵∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=∠α=90°

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠FCA+∠FAC=90°，

∴∠BCE=∠FAC，（同角的余角相等）

∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，

∴Rt△BCE≌Rt△CAF（AAS），

∴BE=CF；

故答案为：“=”；

②∠α与∠BCA关系：∠BCA=180°-∠α，

当∠BCA=180°-∠α时，①中结论仍然成立；

理由是：如图2，

∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠ACB=180°，即∠BEC+∠BCE+∠ACF=180°,

而∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF；

故答案为：∠BCA=180°-∠α；

（2）EF、BE、AF的数量关系：EF=BE+AF，

理由是：如图3

∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE+CF，

∴EF=BE+AF．