Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．

（1）求证：BF＝AC；

（2）若BF＝3，求CE的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CE＝.

【解析】

（1）由三角形的内角和定理，对顶角的性质计算出∠1=∠2，等腰直角三角形的性质得BD=AD，角边角（或角角边）证明△BDF≌△ADC，其性质得BF=AC；（2）等腰三角形的性质“三线合一”证明CE=AC，计算出CE的长度为．

解:如图所示：

（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠FDB＝∠FEA＝∠ADC＝90°，

又∵∠FDB+∠1+∠BFD＝180°，

∠FEA+∠2+AFE＝180°，

∠BFD＝∠AFE，

∴∠1＝∠2，

又∠ABC＝45°，

∴BD＝AD，

在△BDF和△ADC中， ，

∴△BDF≌△ADC（ASA）

∴BF＝AC；

（2）∵BF＝3，

∴AC＝3，

又∵BE⊥AC，

∴CE＝AE＝＝．