Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，n），且AD=3．

（1）求反比例函数y=的表达式；

（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；

（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣；y=x+3；（3）如m=﹣3时，S△OEF最大，最大值为

【解析】

（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；

（2）由n＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；

（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．

（1）∵AD=3，D（﹣4，n），

∴A（﹣4，n+3），

∵点C是OA的中点，

∴C（﹣2，），

∵点C，D（﹣4，n）在双曲线y=上，

∴，

∴，

∴反比例函数解析式为y=﹣；

②由①知，n=1，

∴C（﹣2，2），D（﹣4，1），

设直线CD的解析式为y=ax+b，

∴，

∴，

∴直线CD的解析式为y=x+3；

（3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y=x+3，

设点E（m，m+3），

由（2）知，C（﹣2，2），D（﹣4，1），

∴﹣4＜m＜﹣2，

∵EF∥y轴交双曲线y=﹣于F，

∴F（m，﹣），

∴EF=m+3+，

∴S△OEF=（m+3+）×（﹣m）=﹣（m2+3m+4）=﹣（m+3）2+，

∵﹣4＜m＜﹣2，

∴m=﹣3时，S△OEF最大，最大值为．