Question

【题目】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+

（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

（3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BOC=，理由见解析；（3）∠BOC=90°－

【解析】

（1）利用△ABC和△BOC的内角和为180°进行角度转化可得结论；

（2）设∠ABO=x，∠ACO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得；

（3）设∠DBO=x，∠ECO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得．

（1）∵OB、OC分别时∠ABC和∠ACB的角平分线

∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2

在△ABC中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化简得：∠A+2(∠1+∠2)=180°

在△BOC中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化简得：∠1+∠2=180°－∠BOC，代入上式得：

∠A+2(180°－∠BOC)=180°

化简得：∠BOC=90°+

（2）设∠ABO=x，∠ACO=y

∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点

∴∠OBC=∠OBA=x，∠OCD=∠OCA=y，∠ACB=180°－2y

∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化简得：∠A=2(y－x)

在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化简得：∠BOC=(y－x)

∴∠BOC=

（3）设∠DBO=x，∠ECO=y

同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y

∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化简得：2(x+y)－∠A=180°

在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化简得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得：

∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－