Question

【题目】如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．

（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　．

（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；

（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．

①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　．

②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

Answer 1

【答案】（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－∠EPF

【解析】

（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；

（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；

（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；

②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－，最后在四边形EPFQ中得出结论．

（1）如下图，过点P作PQ∥AB

∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD

∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC

又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC

如下图，过点P作PQ∥AB

同理，AB∥QP∥CD

∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°

∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°

（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°

∵PF是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠PFE

在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°

∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC

∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分线

（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°

∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°

∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线

∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD

∴∠PEQ+∠PFQ=150°

在四边形PEQF中，∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150°

②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF

∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF

∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线

∴∠PEQ=∠QEB，∠PFQ=∠QFD

∴∠PEQ+∠PFQ==180°－

∴在四边形PEQF中：

∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－－(180°－)=180°－