Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若点Q的坐标为（x+ay，ax+y）（其中a为常数，且a≠0），则称Q是点P的“a系联动点”.例如：点P(1,2)的“3系联动点”Q的坐标为（7,5）.

（1）点（3,0）的“2系联动点”的坐标为 ；若点P的“系联动点”的坐标是（,0），则点P的坐标为 ；

（2）若点P（x，y）的“a系联动点”与“系联动点”均关于x轴对称，则点P分布在 ，请证明这个结论；

（3）在（2）的条件下，点P不与原点重合，点P的“a系联动点”为点Q，且PQ的长度为OP长度的3倍，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）(3，6) ，P(1，2)；（2）点P分布在x轴上，证明见解析；（3）a=±3.

【解析】分析：（1）根据“a系联动点”的定义进行解答即可；

（2）根据“a系联动点”的定义得出点P（x，y）的“a系联动点”和“-a系联动点”的坐标，然后根据这两点关于x轴对称即可求出y=0，即点P在x轴上；

（3）由（2）可知点P在x轴上，设P（x，0）（x≠0），根据“a系联动点”的定义表示出Q点的坐标，然后根据PQ的长度为OP长度的3倍建立方程即可求出a的值．

详解：（1）点（3，0）的“2系联动点”的坐标为（3+2×0，2×3+0），即；

设P（x，y），则点P的“-2系联动点”的坐标为（x-2y，-2x+y），

∵点P的“系联动点”的坐标是（，0），

∴，

解得：，

∴点P的坐标为．

故答案为：（3，6），（1，2）；

（2）点P分布在x轴上.

证明：∵点P(x,y)的“a系联动点”的坐标为(x+ay, ax+y)（其中a为常数，且a≠0），

点P(x,y)的“-a系联动点”为(x-ay, -ax+y).

∵点P的“a系联动点”与“-a系联动点”均关于x轴对称,

∴

∵a≠0,

∴y=0.

∴点P在x轴上；

（3）∵在（2）的条件下，点P不与原点重合,

∴ 点P的坐标为(x, 0)，x≠0.

∵点P的“a系联动点”为点Q,

∴点Q的坐标为(x, ax).

∵PQ的长度为OP长度的3倍,

∴.

∴.

∴a=±3.