Question

【题目】是一张等腰直角三角形纸板， ， ．

（）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．

（）图中甲种剪法称为第次剪取，记所得正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为（如图），则__________；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为，继续操作下去，则第次剪取时， __________．

（）求第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和__________．

Answer 1

【答案】（）甲种剪法所得的正方形面积更大，理由见解析；（）， ；（）．

【解析】试题分析：（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可；

（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的，依此可知结果；

（3）探索规律可知： ，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

试题解析：（）如图甲，由题意得，即，

如图乙，设，则由题意得，

则， ，

又∵，即，

∴甲种剪法所得的正方形面积更大．

（）， ，

（）由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为，

第二次剪取后剩余三角形面积和为，

第三次剪取后剩余三角形面积和为，

，

第十次剪取后剩余三角形面积和为．