Question

【题目】在直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1,1），B（1,3），将线段AB平移到直线AB的右边得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应），点D的坐标为（m，n），且m＞1.

（1）如图1，当点C坐标为（2,0）时，请直接写出三角形BCD的面积： ；

（2）如图2，点E是线段CD延长线上的点，∠BDE的平分线DF交射线AB于点F.求证；

（3）如图3，线段CD运动的过程中，在（2）的条件下，n=4.

①当时，在直线AB上点P，满足三角形PBC的面积等于三角形CDF的面积，请直接写出点P的坐标： ；

②在x轴上的点Q，满足三角形QBC的面积等于三角形CDF的面积的2倍，请直接写出点Q的坐标： .（用含m的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）①P1(1，5)， P2(1，1)；②Q(2m，0).

【解析】分析：（1）根据点A和点C的坐标得出平移的方向和距离，进而得出点D的坐标，根据三角形的面积公式即可得出答案；

（2）根据平移的性质得出AB∥CD，AC∥BD，根据平行线的性质可得∠AFD =∠FDE，∠C =∠BDE，根据角平分线的定义等量代换即可得出结论；

（3）①由题意D（4，4），C（4，2），所以CD=2，进而可以求出△CDF的面积，然后根据△PBC的面积和△CDF的面积相等求出PB的长，即可得出P的坐标；

②由题意得：C（m，2），D（m，4），则CD=2，

△CDF的CD边上的高为m-1，

进而可以用m表示出△CDF的面积，

设Q（x，0），

分x＜1，1＜x＜m，x＞m三种情况表示出△BCQ的面积，

然后根据三角形QBC的面积等于三角形CDF的面积的2倍列出方程求出x即可．

详解：（1）∵A（1，1）平移至点C（2，0），

∴点B（1，3）的对应点D（2，2），

∴CD=2，B到CD的距离为1，

所以△BCD的面积为：×2×1=1．

故答案为：1；

（2）证明：∵ 线段AB平移得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）,

∴ AB∥CD，AC∥BD.

∴ ∠AFD =∠FDE，∠C =∠BDE.

∵ DF是∠BDE的角平分线,

∴ ∠BDE =2∠FDE .

∴ ∠BDE =2∠AFD.

∴ ∠C =2∠AFD.

（3）①由题意D（4，4），C（4，2），

所以CD=2，直线AB与CD间的距离为3，

∴S△CDF=×2×3=3，

∴S△PBC=PB·3=3，

∴PB=2，

∵点P在直线AB上，且AB⊥x轴，

∴点P的坐标为（1，5）或（1，1）．

故答案为：P1(1,5)， P2(1,1)；

②由题意得：C（m，2），D（m，4），则CD=2，

△CDF的CD边上的高为m-1，

∴S△CDF=×2(m-1)=m-1，

设Q（x，0），

当x＜1时，如图所示：

S△QBC=S梯形BGHC+S△BQG-S△QCH

=(2+3)(m-1)+ (1-x)·3-(m-x)·2

==2(1-m)，

解得：x=2-m，

∴点Q的坐标为（2-m，0）；

当1＜x＜m时，如图所示：

S△QBC=S梯形BGHC-S△BQG-S△QCH

=(2+3)(m-1)- (x-1)·3-(m-x)·2

==2(1-m)，

解得：x=2-m，

∴点Q的坐标为（2-m，0）；

当x＞m时，如图所示：

S△QBC=S梯形BGHC-S△BQG+S△QCH

=(2+3)(m-1)- (x-1)·3-(x-m)·2

==2(1-m)，

解得：x=2-m，

∴点Q的坐标为（2-m，0）；

综上点Q的坐标为（2-m，0）．

故答案为：（2-m，0）．

三种情况表示出△BCQ的面积，

然后根据三角形QBC的面积等于三角形CDF的面积的2倍列出方程求出x即可．

Q(2-m， 0)或Q(7m-6，0)．