Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将△ADC沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′与AB交于点F．
（1）求线段AF的长．
（2）求△AFC的面积．
（3）点P为线段AC（不含点A、C）上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥CD′于点N，试求PM+PN的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAC，

∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，

∴△ACD≌△ACE，

∴∠DCA=∠ECA，

∴∠BAC=∠ECA，

∴AF=CF，

设AF=CF=x，则BF=8﹣x，

在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2=CF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5；

（2）解：S△ACF= AFBC= ×5×4=10；
（3）解：连接PF，

×AF×PM+ ×CF×PN=S△ACF=10，

∴PM+PN=4．

【解析】（1）根据矩形的性质和翻折变换的性质得到AF=CF，设AF=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出AF；（2）根据三角形面积公式计算即可；（3）连接PF，根据三角形的面积公式解答即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．