Question

【题目】观察下列等式：

(x-1)(x+1)=x2-1；

(x-1)(x2+x+1)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1

(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1；

……

(1)猜想(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=______．

运用上述规律，试求：

(2)219+218+217+…+23+22+2+1．

(3)52018+52017+52016+…+53+52+5+1．

Answer 1

【答案】(1)xn+1-1；(2)220-1；(3)(52019-1)．

【解析】

(1)根据已知算式得出的规律求出即可；

(2)先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可；

(3)先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可．

解：(1)(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=xn+1-1，

故答案为：xn+1-1；

(2)219+218+217+…+23+22+2+1

=(2-1)×(219+218+217+…+23+22+2+1)

=220-1；

(3)52018+52017+52016+…+53+52+5+1

=(5-1)×(52018+52017+52016+…+53+52+5+1)×

=(52019-1)．