Question

【题目】如图，已知□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：

（1）是否存在时刻t，使点P在∠BCD的平分线上；

（2）设四边形ANPM的面积为S（cm），求S与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM与□ABCD面积相等，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；

（4）求t为何值时，△ABN为等腰三角形．

备用图

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （0＜t＜1）;(3)见解析;(4)-1

【解析】（1）当PC平分∠BCD时，则∠DCP=∠PCB， 由平行线的性质得到∠DPC=∠PCB，进而得到∠DPC=∠DCP， 由等角对等边得到DC=PD，代入求出即可；

（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；

（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积等于平行四边形ABCD的面积．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；

（4）分三种情况讨论：①AB=BN，②AB=AN，③BN=AN．

（1）当PC平分∠BCD时，则∠DCP=∠PCB， ∵AD∥BC， ∴∠DPC=∠PCB， ∴∠DPC=∠DCP， ∴DC=PD．

∵DC=1，PD=3-3t， ∴3-3t=1，3t=2，t=．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MAP=∠QDP．

又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP．

∴∴，解得：AM=t．

∵AB=CD=1，∴MB=1+t．

∵MN⊥BC，∠B=45°，∴sin45°=，∴MN=．

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，

∴SANPM=S△MAP+S△NAP=APOM+APON=AP（OM+ON）=APMN

==

∴S与t之间的函数关系式为（0＜t＜1）；

（3）不存在．理由如下：

过A作AG⊥BC于G．

∵∠B=45°，AB=1，∴AG=．

∵SANPM=SABCD，∴=，∴，解得：t=－2，t=1．

∵0＜t＜1，∴不存在在某一时刻t，使四边形ANPM与□ABCD面积相等．

(4)由（2）可知：AM=t，∴BM=1+t．

∵∠B=45°，∴MN=BN=．AD∥BC，∴∠MAD=∠B=45°，∠AOM=∠BNM=90°．

∵AM=t， ∴AO=MO=．

∵NO=AG=，∴AN=．分三种情况讨论：

①当AB=BN时，=1，解得：；

②当AB=AN时，=1，解得：t=1（舍去）；

③当BN=AN时，=时，解得：t=0 (舍)．

综上所述：当时，△ABN为等腰三角形．