Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标为（a，0），（0，b），且满足（a﹣4）2+＝0，现将OA平移到BC的位置，连接AC，点P从点B出发，沿BC﹣CA运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．

（1）求出a和b的值，并写出点C的坐标；

（2）求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示）．

（3）点Q以每秒3.5个单位长度的速度从点A出发，在AO间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，直接写出当PQ∥OB时，点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝4，b＝2，（4，2）；（2）（4，6﹣t）；（3）点P的坐标为（，2）或（，2）或（，2）或（4，）

【解析】

（1）根据非负数的性质求出a和b的值，进而得到点C的坐标；

（2）当t为0到4时，点P在线段BC上，易求其坐标；当t为4到6时，点P在线段CA上，易求其坐标；

（3）分两种情况：①点P在线段BC上，由于OQ∥BP，所以当OQ＝BP时，四边形OBPQ是矩形，则有PQ∥OB．此时又分三种情况：Ⅰ）点Q的运动路线是A﹣O；Ⅱ）点Q的运动路线是A﹣O﹣A；Ⅲ）点Q的运动路线是A﹣O﹣A﹣O；②点P在线段CA上时，Q只能在A点，求出此时t的值，进而得到点P的坐标．

解：（1）∵（a﹣4）2+＝0，

∴a﹣4＝0，2a﹣3b﹣2＝0，

∴a＝4，b＝2，

∴点A，B的坐标分别为（4，0），（0，2），

∵四边形OACB是矩形，

∴点C的坐标是（4，2）；

（2）∵点P为从B出发沿BC﹣CA运动的一动点，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，

∴当t为0到4时，点P在线段BC上，BP＝t，所以P点坐标可表示为（t，2），

当t为4到6时，点P在线段CA上，AP＝6﹣t，所以P点坐标可表示为（4，6﹣t）；

（3）分两种情况：

①点P在线段BC上时，BP＝t，0≤t≤4，当OQ＝BP时，PQ∥OB．

(Ⅰ)点Q的运动路线是A﹣O，

∵AQ＝3.5t，

∴OQ＝OA﹣AQ＝4﹣3.5t，

∵OQ＝BP，

∴4﹣3.5t＝t，

解得：t＝，

∴点P的坐标为（，2）；

(Ⅱ)点Q的运动路线是A﹣O﹣A，

OQ＝3.5t﹣4，

∵OQ＝BP，

∴3.5t﹣4＝t，

解得：t＝，

∴点P的坐标为（，2）；

(Ⅲ)点Q的运动路线是A﹣O﹣A﹣O，

OQ＝12﹣3.5t，

∵OQ＝BP，

∴12﹣3.5t＝t，

解得：t＝，

∴点P的坐标为（，2）；

②点P在线段CA上时，4＜t＜6，Q只能在A点，

此时t＝，

6﹣，

∴点P的坐标为（4，）；

综上所述，所求点P的坐标为（，2）或（，2）或（，2）或（4，）．