Question

【题目】（1）如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．

（2）如图2，已知AB∥CD，CF平分∠DCE，∠EBF＝2∠ABF，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．

（3）如图3，若P是（2）中的射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ∥GN，PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE＝40°；（2）∠ABE＝30°；（3）∠MGN＝15°

【解析】

（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；

（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；

（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．

解：（1）过E作EM∥AB，

∵AB∥CD，

∴CD∥EM∥AB，

∴∠ABE＝∠BEM，

∠DCE＝∠CEM，

∵CF平分∠DCE，

∴∠DCE＝2∠DCF，

∵∠DCF＝30°，

∴∠DCE＝60°，

∴∠CEM＝60°，

又∵∠CEB＝20°，

∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，

∴∠ABE＝40°；

（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，

∵∠EBF＝2∠ABF，

∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，

∵CF平分∠DCE，

∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，

∵AB∥CD，

∴EM∥AB∥CD，

∴∠DCE＝∠CEM＝2y，

∠BEM＝∠ABE＝3x，

∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，

同理∠CFB＝y﹣x，

∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，

∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，

∴∠ABE＝3x＝30°；

（3）过P作PL∥AB，

∵GM平分∠DGP，

∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，

∵PQ平分∠BPG，

∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，

∵PQ∥QN，

∴∠PGN＝∠GPQ＝x，

∵AB∥CD，

∴PL∥AB∥CD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，

∠BPL＝∠ABP＝30°，

∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，

∴30°＝2y﹣2x，

∴y﹣x＝15°，

∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，

∴∠MGN＝15°．