Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．

（1）则D点的坐标是 （ ， ），圆的半径为；
（2）sin∠ACB=；经过C、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）5；4；5
（2）；y= x2﹣ x+4
（3）

证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，

抛物线顶点坐标：F（5，﹣ ），DF=4+ = ，AF= = ，

∵DA2+AF2=52+（ ）2= =（ ）2=DF2，

∴∠DAF=90°

所以AF切于圆D

（4）

解：存在点N，使△CBN面积最大．

根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=﹣ x+4，

设N点坐标（a， ），过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，

可得P点坐标为（a， ），

则NP= ﹣（ ）=

故S△BCN=S△BPN+S△PCN= ×PN×OH+ ×PN×BH= PN×BO= ×8×（ ）=16﹣（a﹣4）2

当a=4时，S△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，﹣2）

【解析】（1）解：连接DC，则DC⊥y轴，

过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD= = =5，
故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；
·（2）解：在Rt△AOC中，AC= = =2 ，
在Rt△BOC中，BC= = =4 ，
∵S△ABC= AC×BCsin∠ACB= AB×CO，
∴sin∠ACB= = ；
设经过点A、B、C三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
将三点坐标代入可得： ，
解得： ，
故经过C、A、B三点的抛物线的解析式为：y= x2﹣ x+4．