Question

【题目】已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．

（1）如图（1），CD平分∠ACB交AB于点D，BE⊥CD于点E，延长BE、CA相交于点F，请猜想线段BE与CD的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），点F在BC上，∠BFE=∠ACB，BE⊥FE于点E，AB与FE交于点D，FH∥AC交AB于H，延长FH、BE相交于点G，求证：BE=FD；

（3）如图（3），点F在BC延长线上，∠BFE=∠ACB，BE⊥FE于点E，FE交BA延长线于点D，请你直接写出线段BE与FD的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD．（2）证明见解析；（3）BE=FD．证明见解析.

【解析】

（1）先利用AAS证明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，再利用ASA证明△BCE≌△FCE，从而得到BE=FE=BF，进而得出BE=CD；

（2）利用“等角对等边”证明BH=FH，再通过证明△BFE≌△GFE，得到BE=GB，再证明△BHG≌△FHD，得到BG=FD，从而得到BE=FD；

（3）利用相同的方法可得BF和FD的关系．

（1）猜想：BE=CD．

理由：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∠BDE=∠ADC，

∴∠ABF=∠ACD，∠BAF=∠BAC．

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（AAS）．

∴BF=CD．

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCE=∠FCE．

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠FEC=90°．

在△BCE和△FCE中，

，

∴△BCE≌△FCE（ASA）．

∴BE=FE=BF．

∴BE=CD．

（2）证明：∵AB=AC，FH∥AC

∴∠ABC=∠ACB，∠BFH=∠ACB．

∴∠BHF=∠BAC=90°．∠ABC=∠BFH．

∴BH=FH．

∵∠BFE=∠ACB，

∴∠EFG=∠ACB．

∴∠BFE=∠EFG．

∵BE⊥FE，

∴∠BEF=∠GEF．

在△BFE和△GFE中，

，

∴△BFE≌△GFE（ASA）．

∴BE=GE．

∴BE=GB．

在△BHG和△FHD中，

，

∴△BHG≌△FHD（ASA）．

∴BG=FD，

∴BE=FD．

（3）BE=FD．

证明：过点F作GF∥AC，交BE，AD延长线于点G，H

∴∠BFG=∠ACB

∵∠BFE=∠ACB

∴∠BFE=∠GFE

在△FBE和△FBG中

,

∴△FBE≌△FBG（ASA）

∴∠EFB=∠EFG

BE=EG=BG

∵FG∥AC

∴∠BAC=∠BHF=90°

在四边形GEDH中

∠G+∠EDG=180°

又∵∠HDF+∠EDH=180°

∴∠HDF=∠G

在△DHF和△GHB中

，

∴△DHF≌△GHB（AAS）

∴BG=DF

∴BE=FD．