Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．

（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在第一象限内，直接写出点B的坐标；

（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（2，2）；（2）点P的坐标为（2，）；（3）在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为（，）或（﹣，）．

【解析】分析：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．

（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在第一象限内，直接写出点B的坐标；

（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

详解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，

∴D（4，0），

过B作BE⊥x轴于点E，如图1，

∵△OBD为等边三角形，

∴OE=OD=2，BE=OB=2，

∴B（2，2）；

（2）∵等边△OBD是轴对称图形，对称轴为l，

∴点O与点C关于直线l对称，

∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，

把x=2代入y=﹣x+1，得y=，

∴点P的坐标为（2，）；

（3）设满足条件的点为Q，其坐标为（m，﹣m+1），

由题意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，

解得m=或m=﹣，

∴在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为（，）或（﹣，）．