Question

【题目】在平面直角坐标系中，有点A（0，4）、B（9，4）、C（12，0）．已知点P从点A出发沿着AB路线向点B运动，点Q从点C出发沿CO路线向点O运动，运动速度都是每秒2个单位长度，运动时间为t秒．

（1）当t=4.5秒时，判断四边形AQCB的形状，并说明理由．
（2）当四边形AOQB是矩形时，求t的值．
（3）是否存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：结论：四边形AQCB是平行四边形．

理由：∵A（0，4），B（9，4），

∴AB∥OC，AB=9，

当t=4.5秒时，CQ=2t=9，

∴AB=CQ，

∴四边形AQCB是平行四边形．

（2）

解：当四边形AQCB是矩形时，有AB=OQ，

即9=12﹣2t，

∴t=1.5．

∴t=1.5s时，四边形AQCB是矩形．

（3）

解：当PB=CQ时，四边形PQCB是平行四边形，

即9﹣2t=2t，

∴t= ，

此时CQ=2t=4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，

∵B（9，4），C（12，0），

∴BC= =5，

∴BC≠CQ，

∴四边形PQCB不是菱形，

即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形．

【解析】（1）结论：四边形AQCB是平行四边形．只要证明AB=CQ即可解决问题；（2）当四边形AQCB是矩形时，有AB=OQ，即9=12﹣2t，解方程即可解决问题；（3）当PB=CQ时，四边形PQCB是平行四边形，即9﹣2t=2t，可得t= ，此时CQ=2t=4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，由BC= =5，推出BC≠CQ，由此即可判断，四边形PQCB不是菱形，即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形；
【考点精析】掌握平行四边形的判定和菱形的判定方法是解答本题的根本，需要知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．