Question

【题目】抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），

∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，

解得x=3或﹣1，

∴点B的坐标为（3，0）．

∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点D的坐标为（1，﹣4）

（2）

解：①如图．

∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，﹣3）．

∵对称轴为直线x=1，

∴点E的坐标为（1，0）．

连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），

∴CH=DH=1，

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，

∴CD= ，CB=3 ，△BCD为直角三角形．

分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，

∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO，

∴△BCD∽△QOC，

∴ = = ，

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．

∴直线CQ的解析式为y=﹣ x﹣3，

直线BD的解析式为y=2x﹣6．

由方程组 ，解得 ．

∴点P的坐标为（ ，﹣ ）；

②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．

若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴ = = ，

∴MN=2CN．

设CN=a，则MN=2a．

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF= a，

∴MF=MN+NF=3a，

∴MG=FG= a，

∴CG=FG﹣FC= a，

∴M（ a，﹣3+ a）．

代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a= ，

∴M（ ，﹣ ）；

若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴ = = ，

∴MN=2CN．

设CN=a，则MN=2a．

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF= a，

∴MF=MN﹣NF=a，

∴MG=FG= a，

∴CG=FG+FC= a，

∴M（ a，﹣3+ a）．

代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5 ，

∴M（5，12）；

（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而抛物线左侧任意一点K，都有∠MCN＜45°，

∴点M不存在．

综上可知，点M坐标为（ ，﹣ ）或（5， 12）．

【解析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；（2）①根据抛物线y=（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD= ，CB=3 ，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则 = = ，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=﹣ x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，解方程组 ，即可求出点P的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠MCN＜45°，所以点M不存在．