Question

【题目】若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1 ， B2C2 ， B3C3 ， B4C4的对边分别在B2C2 ， B3C3 ， B4C4 ， BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：答案不唯一，如a=2，b=4

（2）

解：①以B1C1为一边的矩形不是方形．

理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，

∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，

∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，

∴ = ， = ， = ， = = ，

∵AM=20，BC=25，

∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，

∴MN=GN=GH=HE=4，

∴B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，

即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，

∴以B1C1为一边的矩形不是方形；

②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，

∴△ABC∽△AB3C3，

∴ = ，

则AG= h，

∴MN=GN=GH=HE= h，

当B3C3=2× h时， = = ；

当B3C3= × h时， = = ．

综合上述：BC与BC边上的高之比是 或 ．

【解析】（1）答案不唯一，根据已知举出即可；（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4 ， 推出 = ， = ， = ， = = ，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；
②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3 ， 得出 = ，求出MN=GN=GH=HE= h，分为两种情况：当B3C3=2× h时，当B3C3= × h时，代入求出即可．