Question

【题目】如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．

（1）①依题意补全图2；
②求证：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；
（2）如图3，正方形ABCD边长为 ， 若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

Answer 1

【答案】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．

②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ADC和△BEC中，有，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．
∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
∴AD⊥BE．
③依照题意画出图形，如图（二）所示．

∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB ，
即ACBC+BECM=AE（CM+BE），
∴AC2﹣AEBE=CM（AE﹣BE）．
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=2CM，
∴AE﹣BE=2CM，
∴CM=．
（2）依照题意画出图形（三）．

其中AB=，DP=1，BD=AB=
由勾股定理得：BP==3．
结合（1）③的结论可知：
AM===1．
故点A到BP的距离为1．
【解析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；
（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．