Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CPCP′=r2 ， 则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．

（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（ ， ）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．
①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．

Answer 1

【答案】解：（1）∵ONON′=1，ON=2，
∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），
∵OMOM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演点M′坐标（1，0）
∵，
∴，
∵T′在第一象限的角平分线上，
∴反演点T′坐标（1，1）
（2）①由题意：AB=2，r=，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′GEG=5，
∴，
∵OGO′G=5，OG=2，
∴O′G=，
∵E′（﹣，2），O′（，），
∴O′E′=，
∴E′G2=E′O′2+O′G2 ，
∴∠E′O′G=90°
②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，
∴∠P1BQ1=45°，
∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，
∴△PBQ1是等腰直角三角形，
由△AP1B∽△BOC得到：=3，
∵AB=2，
∴BP1=，BQ1=2，Q1（5，0），
∵Q1′GGQ1=5，
∴Q1′G=，
∵∠P2AB=∠BAP1，
∴P1 ， P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），
∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（,0），
由：Q2′GQ2G=5得到：Q2′G=．

【解析】（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；
②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．