Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），

∴b=0，c=﹣2；

∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），

∴0=a+0﹣2，a=2，

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．

当y=0时，2x2﹣2=0，

解得x=±1，

∴点B的坐标为（1，0）

（2）

解：设P（m，n）．

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：

① 若△OCB∽△DBP，则 ，

即 = ，

解得n= ．

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m， ）或（m， ），

∵点P在第一象限，

∴点P的坐标为（m， ）

②若△OCB∽△DPB，则 ，

即 = ，

解得n=2m﹣2．

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），

∵P在第一象限，m＞1，

∴点P的坐标为（m，2m﹣2）

综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m， ），（m，2m﹣2）

（3）

解：方法一：

假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

如图，过点Q作QE⊥l于点E．

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE．

在△DBP与△EPQ中，

，

∴△DBP≌△EPQ，

∴BD=PE，DP=EQ．

分两种情况：

①当P（m， ）时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴ ，

解得 ， （均不合题意舍去）；

②当P（m，2（m﹣1））时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴ ，

解得 ， （均不合题意舍去）；

综上所述，不存在满足条件的点Q．

方法二：

若在第一象限内存在点Q，

①∵B（1，0），P（m， ），

点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，

将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m， ），

将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（ ，m﹣1），

将点P′平移回P（m， ），则点Q′平移后即为点Q，

∴Q（ ， ），

将点Q代入抛物线得：m2﹣m=0，

∴m1=1，m2=0，

∴Q1（1，0），Q2（0，﹣ ）（均不合题意舍去），

②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），

同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），

将点Q代入抛物线得：3m﹣3=2（2﹣m）2﹣2，

∴2m2﹣11m+9=0，

∴m1=1，m2= ，

∴Q1（1，0），Q2（﹣ ， ）（均不合题意舍去）

综上所述，不存在满足条件的点Q．

【解析】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m， ）；②P（m，2（m﹣1））．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．