Question

【题目】我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG ， S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．

∴DE是中位线，

∴DE∥AC，且DE= AC．

∵DE∥AC，

∴△AOC∽△DOE，

∴ =2，

∵AD=AO+OD，

∴

（2）

答：点O是△ABC的重心．

证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．

由（1）可知， ，

而 ，

∴点Q与点O重合（是同一个点），

∴点O是△ABC的重心

（3）

解：如答图3所示，连接DG．

设S△GOD=S，由（1）知 ，即OA=2OD，

∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．

为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．

∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，

∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．

设OH=kOG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，

∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．

∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S．

∴ = = ①

如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．

∵OF∥BC，

∴ ，

∴OF= CD= BC；

∵GE∥BC，

∴ ，

∴GE= ；

∴ = ，

∴ ．

∵OF∥GE，

∴ ，

∴ = ，

∴k= ，代入①式得：

= = =﹣x2+x+1=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时， 有最大值，最大值为

【解析】（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知， ，而已知 ，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出 的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．