Question

【题目】如图，在等腰三角形中，是上一动点，点在的延长线上,且平分，交于点.

(1)如图①，连接，求证: ；

(2)如图②，当时，求证: ；

(3)如图③，当时，若平分，求证: .

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）证△EAF≌△CAF，推出EF＝CF，∠E＝∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E＝∠ABF，即可得出答案；

（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF＝FC＝BM，AF＝AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF＝AF，即可得出答案；

（3）连接CF，延长BA、CF交N，证△BFC≌△BFN，推出CN＝2CF＝2EF，证△BAD≌△CAN，推出BD＝CN，即可得出答案．

（1）∵AF平分∠CAE，

∴∠EAF＝∠CAF，

∵AB＝AC，AB＝AE，

∴AE＝AC，

在△ACF和△AEF中，

，

∴△ACF≌△AEF（SAS），

∴∠E＝∠ACF，

∵AB＝AE，

∴∠E＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠ACF．

（2）连接CF，

∵△ACF≌△AEF，

∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，

在FB上截取BM＝CF，连接AM，

在△ABM和△ACF中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴∠MAF＝∠MAC＋∠CAF＝∠MAC＋∠BAM＝∠BAC＝60°，

∵AM＝AF，

∴△AMF为等边三角形，

∴AF＝AM＝MF，

∴AF＋EF＝BM＋MF＝FB，

即AF＋EF＝FB；

（3）连接CF，延长BA、CF交N，

∵∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，AB＝AC，

∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°45°45°＝90°，

∴∠ACF＝∠ABF＝22.5°，

∴∠BFC＝180°22.5°45°22.5°＝90°，

∴∠BFN＝∠BFC＝90°，

在△BFN和△BFC中，

∴△BFN≌△BFC（ASA），

∴CF＝FN，

即CN＝2CF＝2EF，

∵∠BAC＝90°，

∴∠NAC＝∠BAD＝90°，

在△BAD和△CAN中，，

∴△BAD≌△CAN（ASA），

由（2）得CF＝EF，

∴BD＝CN＝2CF＝2EF．