Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，

（1）求∠AOC的度数；

（2）求证：OE=OD；

（3）．猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）AE+CD=AC.

【解析】

（1）根据△ABC中，∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°．因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC＝120°；

（2）求出∠AOE＝60度．在AC上截取AF＝AE，连接OF，易证△AOE≌△AOF，得OE＝OF，∠AOE＝∠AOF＝60°，可证△COD≌△COF，得OD＝OF，即可得证；

（3）根据全等得出AE＝AF，CD＝CF，所以AC＝AF＋CF＝AE＋CD，即AE＋CD＝AC．

（1）在△ABC中，∠B＝60°，

∴∠BAC＋∠BCA＝180°∠B＝180°60°＝120°．

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝∠ACB，

在△OAC中，∠AOC＝180°（∠OAC＋∠OCA）

＝180°（∠BAC＋∠ACB）＝180°×120°＝120°；

（2）∵∠AOC＝120°，

∴∠AOE＝∠DOC＝180°∠AOC＝180°120°＝60°，

在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，

在△AOE和△AOF中，

∴△AOE≌△AOF（SAS），

∴OE=OF，

∴∠AOE＝∠AOF，

∴∠AOF＝60°，

∴∠COF＝∠AOC∠AOF＝120°60°＝60°，

又∠COD＝60°，

∴∠COD＝∠COF，

在△COD和△COF中，

，

∴△COD≌△COF（ASA），

∴OD＝OF，

∴OE=OD；

（3）∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，

∴AE＝AF，CF＝CD，

又∵AF＝AE，

∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD，

即AE＋CD＝AC.