Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，点D为直线BC上一个动点（不与B，C重合），连结AD．将线段AD绕点D按顺吋针方向旋转90°得到线段DE，连结EC．

（1）如图1，点D在线段BC上，依题意画图得到图2．

①求证：∠BAD＝∠EDC；

②方方同学通过观察、测量得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE＝135°．方方的主要思路有以下几个：

思路一：在AB上取一点F使得BF＝BD，要证∠DCE＝135°，只需证△ADF≌△DEC．

思路二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F，要证∠DCE＝135°，只需证△AFD≌△ECD．

思路三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证∠DCE＝135°，只需证EF＝CF．

……

请你参考井选择其中一个思路，证明∠DCE＝135°；

（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，请写出∠DCE的度数并说明理由；如果不是，也请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）∠DCE＝45°，理由见解析

【解析】

（1）①根据余角的性质得到结论；②证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF＝BD，连接DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠BFD＝45°，根据全等三角形的性质得到∠DCE＝∠AFD＝135°；证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，根据全等三角形的性质即可得到结论；证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过E作EF⊥DC于F，根据全等三角形的性质得到DB＝EF，AB＝DF＝BC，根据线段的和差得到FC＝EF，于是得到结论．

解：（1）①证明：∵∠B＝90°，

∴∠BAD+∠BDA＝90°，

∵∠ADE＝90°，点D在线段BC上，

∴∠BAD+∠EDC＝90°，

∴∠BAD＝∠EDC；

②证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF＝BD，连接DF，

∵BF＝BD，∠B＝90°，

∴∠BFD＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BA＝BC，

∴AF＝CD，

在△ADF和△DEC中，，

∴△ADF≌△DEC，（SAS），

∴∠DCE＝∠AFD＝135°；

证法2：如图2，以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，

∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，

∴∠DFC＝90°，∠AFD＝135°，

∵∠ADE＝∠FDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

在△ADF≌△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE，（SAS），

∴∠AFD＝∠DCE＝135°；

证法3：如图3，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，

∴∠EFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠EFD＝∠B，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，（AAS），

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，

∴BC＝DF，BC﹣DC＝DF﹣DC，

即BD＝CF，

∴EF＝CF，

∵∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝45°，∠DCE＝135°；

（2）解：∠DCE＝45°，

理由：如图4，过E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD＝90°，

∴∠EDF＝∠DAB＝90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，（AAS），

∴DB＝EF，AB＝DF＝BC，

∴BC﹣BF＝DF﹣BF，

即FC＝DB，

∴FC＝EF，

∴∠DCE＝45°．