Question

【题目】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点B的坐标，并用含t的代数式表示OP，OQ；

（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，矩形对角线AC，BO交于M，取OM中点G，BM中点H，求证：当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）B（6，3），OQ=+t， OP= 6﹣t；（2）D（1，3）；（3）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据矩形的性质求出点B的坐标，根据动点问题求出OP和OQ的长度；（2）根据折叠图形的性质求出OQ和DQ的长度，然后根据勾股定理求出CD的长度，得到点D的坐标；（3）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定．

试题解析：（1）B（6,3）；OP="OA-AP=6-t," OQ=+t．

（2）当t=1时，OP=5，OQ=,则CQ=3-=，

由折叠可知：△OPQ≌△DPQ,

∴OQ=DQ=

由勾股定理,得：CD=1

∴D（1,3）

（3）∵四边形OABC是矩形，

∴OA=BC,

又∵CD=AP=1，

∴BC-CD=OA-AP,即BD=OP,

∵OM=MB,G为OM中点，H为BM中点 ,

∴OG="BH,"

∵OA∥BC

∴∠1=∠2

在△POG和△DBH中，OG=BH，∠1=∠2，OP=DB

∴△POG≌△DBH

∴∠OGP=∠BHD，PG=DH

∴∠MGP=∠DHM

∴PG∥DH

又∵PG=DH

∴四边形DGPH是平行四边形．