Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，

∴∠BAD=∠CDA，

而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，

AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，

∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，

∴△AED≌△DFA（SAS），

∴AF=DE

（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，

∵∠BAD=45°，

∴∠HAB=∠KDC=45°，

∴AB= BH= AH，

同理：CD= CK= KD，

∵S梯形ABCD= ，AB=a，

∴S梯形ABCD= = ，

而S△ABE=S△DCF= a2，

∴ =2× a2，

∴BC= a．

【解析】（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可；（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长．
【考点精析】掌握等边三角形的性质和等腰梯形的性质是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；等腰梯形的两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等．