Question

【题目】在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
（4）点C为x轴上一动点，且C点坐标为（2k，0），当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时，求K的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当k=﹣2时，A（1，﹣2），

∵A在反比例函数图象上，

∴设反比例函数的解析式为：y= ，

代入A（1，﹣2）得：﹣2= ，

解得：m=﹣2，

∴反比例函数的解析式为：y=﹣

（2）

解：∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，

∴k＜0，

∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+ ）2﹣ k，对称轴为：直线x=﹣ ，

要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，

即x＜﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大，

∴综上所述，k＜0且x＜﹣

（3）

解：方法一：

由（2）可得：Q（﹣ ，﹣ k），

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，

∴原点O平分AB，

∴OQ=OA=OB，

作BD⊥OC，QC⊥OC，

∴OQ= = ，

∵OB= = ，

∴ = ，

解得：k=± ．

方法二：

抛物线的顶点Q（﹣ ，﹣ k），A（1，k），B（﹣1，﹣k），

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，

∴AQ⊥BQ，

∴KAQ×KBQ=﹣1，

∴ ，

∴ ，

k1= ，k2=﹣ ，

（4）

△ABC是以AB为斜边的直角三角形，

∴AC⊥BC，

∴KAC×KBC=﹣1，

∵A（1，k），B（﹣1，﹣k），C（2k，0），

∴ ，

∴3k2=1，

∴k1= ，k2=﹣ ．

【解析】方法一：（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y= ，利用待定系数法即可求得答案；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣ ，可得x＜﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大；（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣ ，﹣ k），A（1，k），即可得 = ，继而求得答案．方法二：（1）略．（2）根据反比例函数及二次函数的增减性得出k及x的取值范围．（3）设参数Q点坐标，由于AB为斜边，得出AQ垂直BQ，利用黄金法则二列式便可求解．（4）列出A，B，C三点参数坐标，利用黄金法则二列式便可求解．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的性质和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．