Question

【题目】如图，在中，为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，.

（1）如果，.

①当点在线段上时，如图1，线段、的位置关系为___________，数量关系为_____________

②当点在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.

（2）如图3，如果，，点在线段上运动。探究：当多少度时，？小明通过（1）的探究，猜想时，.他想过点做的垂线，与的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法。小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由.

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②都成立；（2）当时，

【解析】

（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；

②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；

（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．

解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．

理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE．

又 BA=CA，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE （SAS）

∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．

故答案为：垂直，相等；

②都成立

∵，

∴，

∴，

在与中，

∴，

∴，

∴，即；

（2）当时，（如图）．

理由：过点作交的延长线于点，

则，

∵，

∴，

∴，

∴，

在与中，

∴，

∴，

∴，即．