Question

【题目】如图，抛物线交X轴于点A、B（A左B右），交Y轴于点C，

=6，点P为第一象限内抛物线上的一点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；

（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、

AQ，当PC=AQ时，求点P的坐标以及ΔPCQ的面积.

Answer 1

【答案】（1）y=x+2x+3；（2）P(2,3)；（3）P(,)， .

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的解析式求得点A、B、C的坐标，根据， =6即可求得a值，从而求得抛物线的解析式；（2）根据点B、C的坐标判定△OBC是等腰直角三角形，即可得∠BCO=∠OBC=45°，已知点P为第一象限内抛物线上的一点,且∠PCB=45°，可得PC∥OB，所以P点的纵坐标为3，令y=3，解方程即可求得点P的横坐标，从而求得点P的坐标；（3）根据点P在第一象限，点Q在第二象限，且横坐标相差1，进而设出点P（3-m，-m2+4m）（0＜m＜1）；得出点Q（4-m，-m2+6m-5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求出m的值，从而求出点P、Q的坐标，再求出直线CQ的解析式及点D的坐标，根据S△PCQ=S△PCD+S△PQD即可求得ΔPCQ的面积．

试题解析：

(1)∵抛物线y=ax2ax3a=a(x+1)(x3)，

∴A(1,0),B(3,0),C(0,3a)，

∴AB=4，OC=|3a|=|3a|，

∵S△ABC=6，

∴ABOC=6，

∴×4×|3a|=6，

∴a=1或a=1(舍)，

∴抛物线的解析式为y=x+2x+3；

(2)由(1)知,B(3,0),C(0,3a)，

∴C(0,3)，

∴OB=3，OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO=∠OBC=45°，

∵点P为第一象限内抛物线上的一点,且∠PCB=45°，

∴PC∥OB，

∴P点的纵坐标为3，

由(1)知,抛物线的解析式为y=x+2x+3，

令y=3,∴x+2x+3=3，

∴x=0(舍)或x=2，

∴P(2,3)；

(3)如图2,过点P作PD⊥x轴交CQ于D,

设P(3m,m+4m)(0<m<1)；

∵C(0,3)，

∴PC2=(3m) +(m+4m3)2=(m3) [(m1)+1]，

∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，

∴Q(4m,m+6m5)，

∵A(1,0).

∴AQ2=(4m+1)+(m+6m5)=(m5) [(m1)+1]

∵PC=AQ，

∴81PC=25AQ，

∴81(m3) [(m1) +1]=25(m5) [(m1)+1]，

∵0<m<1，

∴[(m1)+1]≠0，

∴81(m3)=25(m5)，

∴9(m3)=±5(m5)，

∴m=或m= (舍)，

∴P(,),Q(,)，

∵C(0,3)，

∴直线CQ的解析式为y=x+3，

∵P(,)，

∴D(,)，

∴PD=+=52，

∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD=PD×xP+PD×(xQxP)= PD×xQ=××=.