Question

【题目】已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC。∴∠OAE=∠OCF。

在△AOE和△COF中，∵，

∴△AOE≌△COF（ASA）。

（2）∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°。

∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°。

∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°。

∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1。

∴。

∴。

∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，∴高。

在Rt△CEF中， 。

【解析】试题分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等。

（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解。