Question

【题目】已知线段AB⊥直线l于点B，点M在直线l上，分别以AB、AM为边作等边△ABC和等边△AMN，直线CN交直线l于点D.

（1）当点M在AB右侧时，如图①，试探索线段CN、CD、DM的数量关系，并说明理由；

（2）当点M在AB左侧时，如图②，(1)中线段CN、CD、DM的数量关系仍然成立吗？若不成立，写出新的数量关系；

（3）若BM=2BD，DN=9，则CD= .

Answer 1

【答案】（1）MD=CN-CD；理由见解析；

（2）（1）中的数量关系不成立，MD=CN+CD；理由见解析；

（3）CD=3或9

【解析】

（1）如图①中，设AM交ND于O．首先证明△ABM≌△ACN（SAS），推出BM=NC，再证明BD=CD即可得到MD=CN-CD；

（2）如图②, 设AM交ND于O．类似（1）的证明方法，先证明△ABM≌△ACN（SAS），得到CN=BM，再证明CD=BD，可得到MD=CN+CD；

（3）分图①，图②两种情形，设BD=CD=x，则BM=2x，列出方程分别求解即可.

（1）MD=CN-CD；理由是：

如图①中，设AM交ND于O．

∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴CN=BM，

∴∠ANO=∠DMO，
∵∠AON=∠DOM，
∴∠ODM=∠OAN=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABM=90°，

∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵∠ODM=∠CBD+∠BCD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴CD=BD，
∴MD=CN-CD
（2）不成立，MD=CN+CD；

证明：如图②, 设AM交ND于O．

∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴CN=BM，

∴∠ANC=∠AMB，
∵∠AOM=∠DON，
∴∠ODN=∠OAM=60°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，

∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵∠ODN=∠CBD+∠BCD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴CD=BD，
∴MD=MB+BD=CN+CD；

（3）分两种情况：

①如图①中，

∵BM=2BD，设BD=MD=CD=x，则BM=2x,
∵DN=9，BM=NC，

∴BM+CD=DN
∴2x+x=9，
∴x=3
∴CD=3．
②如图②中，设BD=CD=x，则BM=2x，

∵BM=NC，ND=9，

CD+DN= CN；
∴x+9=2x，
∴x=9，
∴CD=9，
综上所述，CD=3或9．
故答案为3或9．