Question

【题目】抛物线y=ax2+bx﹣3交x轴于B、C两点，且B的坐标为（﹣2，0）直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A（4，3）
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，过P作PQ∥x轴，且PQ=4（点Q在P点右侧）．以PQ为一边作矩形PQEF，且点E在直线AB上．求矩形PQEF的最大值．并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接AP、BP，设QE交于x轴于点D，现即将矩形PQEF沿射线DB以每秒1个单位长度的速度平移，当点D到达点B时停止，记平移时间为t，平移后的矩形PQEF为P′Q′E′F′，且Q′E′分别交直线AB、x轴于N、D′，设矩形P′Q′E′F′与△ABP的重叠部分面积为s，当NA= ND′时，求s的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B的坐标为（﹣2，0）直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A（4，3），

∴ ，

∴ ，

∴直线解析式为y= x+1，

∵抛物线过点A，B，

∴ ，

∴ ，

∴y= x2﹣ x﹣3

（2）

解：由矩形的周长为2（PQ+EQ）=8+2EQ，要使周长最大，EQ最大即可，

设P（a， a2﹣ a﹣3），

∴Q（a+4， a2﹣ a﹣3），E（a+4， a+3），

∴EQ= a+3﹣（ a2﹣ a﹣3）=﹣ （a﹣1）2+ ，

∴当a=1时，EQ最大，P（1，﹣3）

（3）

解：如图2，

①N在线段AE上时，有DD′=t，oD′=5﹣t，D′（5﹣t，0），N（5﹣t，﹣ t+ ），

过点A作AH⊥ND′，

∴AH∥x轴，

∴NH=﹣ t+ ﹣3=﹣ t+ ，

∴M（0，1）

∴OM=1，

∴BM= ，

∴sin∠MBO= ，

∵AH∥x轴，

∴∠NAH=∠MBO，

∴sin∠MBO= ，

∴ ，

∴NA= （﹣ t+ ）

由NA= ND′，

∴ （﹣ t+ ）= （﹣ t+ ），

∴t= ，

∵BP的解析式为y=﹣x﹣2，

xJ= ，yJ=﹣ ，

∴J（ ，﹣ ），

∵Q（ ， ），

∴QJ= ，

同理：IP= ，

∴S=S梯形+S△IDA= ，

②N在AB上时，同①的方法一样，得到MQ=2，NK=1，

S=S梯形MQPI+S梯形PKNI= ×（2+ ）× + （1+ ）×（ ﹣1）=

【解析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线的解析式，（2）先确定出要使周长最大，EQ最大即可，求出EQ函数关系式即可；（3）①N在线段AE上时QJ= ，IP= ，再求出面积S=S梯形+S△IDA ， ②N在AB上时，MQ=2，NK=1在计算面积即可S=S梯形MQPI+S梯形PKNI
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．