Question

【题目】已知：，⊙经过点、.以为一边画平行四边形，另一边经过点（如图1）.以点为圆心，为半径画弧，交线段于点（点不与点、点重合）.

（1）求证：；

（2）如果⊙的半径长为（如图2），设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果⊙的半径长为，联结，当时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），得1分，函数定义域，（3）3.

【解析】解决本题方法是根据题意添加辅助线，利用平行四边形的性质和全等三角形性质解题即可.

解：（1）联结、(如图8-1)，

易得，.

∵四边形是平行四边形，∴∥，.

∵，，∴.

又 ∵∥，∴四边形是等腰梯形.∴.

又 ∵，∴.

即 .

在△AOD和△BOE中，∵，，，

∴△AOD≌△BOE. ∴.

方法2：∵，，，∴△AOD≌△BOE.……

方法3：∵，，，∴△AOD≌△BOE.……

方法4：如图8-2，过点作，过点作，过点作.……

方法5：如图8-3，过点作，垂足为，联结、.……

（2）方法1：如图9-1，

过点作，垂足为，过点作，垂足为.

联结，，，得1分；得到，得2分；在Rt△ADG中，写出，，得1分；利用得到，得1分，函数定义域，.

（3）如图10-1，

过点作，交于点，交于点.证明四边形是平行四边形，利用，得到，利用△AMN≌△CMO或得到，进而得到是的垂直平分线，，利用，得到.

方法2.如图10-2；方法3：如图10-3；方法4（利用圆周角，略）.

“点睛”本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系和三角形全等的判定与性质，也考查了分类讨论的思想和勾股定理.本题时要注意一题多解的应用.