Question

【题目】已知如图，圆P经过点A（﹣4，0），点B（6，0），交y轴于点C，∠ACB=45°，连结AP、BP．

（1）求圆P的半径；
（2）求OC长；
（3）在圆P上是否存在点D，使△BCD的面积等于△ABC的面积？若存在求出点D坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣4，0），B（6，0）

∴AB=10，

∵∠ACB=45°，

∴∠APB=90°，

∴△PAB为等腰直角三角形，且PA=PB，

∴PA2+PB2=AB2，

解得PA=PB= ，

∴圆P的半径为

（2）解：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，连接PC，

∵△PAB为等腰直角三角形，

∴PM=AM=BM AB=5，

∴OM=AM﹣AO=1，

∴ON=PM=5，PN=OM=1，

在Rt△PNC中有：CN= = =7，

∴OC=ON+NC=5+7=12，

∴OC=12

（3）解：∵S△BCD=S△ABC，D为圆P上一点，

①当D与A重合时，仍满足条件，

∴D1（﹣4，0），

②当D与A不重合时，过A作BC的平行线，

与圆P的交点，即为所求的点D，

∵AD∥BC

∴S△BCD=S△ABC（等底等高），

作AG⊥BC于G，作DH⊥BC于H，DQ⊥x轴于Q，

∵cos∠ABC= ，sin∠ABC= ，

∴AG=ABcos∠ABC= ，

∵DH=AG=ABsin∠ABC= ，

∵∠DBC=∠DAC=∠ACB=45°，

∴BH=DH= ，

∴AD=GH=BH﹣BG= ，

∴DQ=ADsin∠DAQ=ADsin∠ABC=4，

AQ=ADcos∠DAQ=ADcos∠ABC=2，

∴OQ=OA+AQ=6，

∴D2（﹣6，4）

综上：D点的坐标为（﹣4，0）或（﹣6，4）．

【解析】（1）由∠APB=2∠ACB=90°，AB=10，△PAB为等腰直角三角形，即可求得圆P的半径；（2）作PN⊥OC，PM⊥x轴，则ON=PM= AB=5，再根据勾股定理求出CN的长度，则OC=ON+NC；（3）分两种情况，①当D与A重合时，易得D（﹣4，0），②当D与A重合时，根据等底等高的性质，过A作BC的平行线，与圆P的交点即为所求的点D．