Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=ax2+bx（a≠0），与x轴正半轴交于点A1（2，0），顶点为P1 ， △OP1A1为正三角形，现将抛物线y1=ax2+bx（a≠0）沿射线OP1平移，把过点A1时的抛物线记为抛物线y2 ， 记抛物线y2与x轴的另一交点为A2；把抛物线y2继续沿射线OP1平移，把过点A2时的抛物线记为抛物线y3 ， 记抛物线y3与x轴的另一交点为A3；…．；把抛物线y2015继续沿射线OP1平移，把过点A2015时的抛物线记为抛物线y2016 ， 记抛物线y2016与x轴的另一交点为A2016 ， 顶点为P2016 ． 若这2016条抛物线的顶点都在射线OP1上．

（1）①求△OP1A1的面积；②求a，b的值；
（2）求抛物线y2的解析式；
（3）请直接写出点A2016以及点P2016坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①过点P1作作P1B1⊥x轴，垂足为B1．

∵△OP1A1为正三角形，

∴∠P1OA1=60°，P1O=P1A1．

又∵P1B1⊥x轴，

∴0B1=B1A1=1．

∴P1B1=OP1× =2× = ．

∴P1（1， ），△OP1A1的面积= OA1P1B1= ×2× = ．

②∵将点A1（2，0）、P1（1， ）在抛物线y1上，

∴ ，解得：a=﹣ ，b=2

（2）

解：设直线OP1的解析式为y=kx．

∵将P1（1， ）代入得：k= ，

∴直线OP1的解析式为y= x．

∵点P2在直线OP1上，

∴设点P2（a， ）．

∴y2=﹣ （x﹣a）2+ a．

∵将点A1的坐标代入得：﹣ （2﹣a）2+ a=0，解得：a1=1（舍去），a2=4，

∴y2=﹣ （x﹣4）2+4 ，整理得：y2=﹣ x2+8 x﹣12

（3）

解：∵a2=4，

∴P2（4，4 ）．

∴点A1与D点A2关于x=4对称，

∴点A2（6，0）．

设P3（b， ）则y3=﹣ （x﹣b）2+ b．

∵将A2（6，0）代入得﹣ （6﹣b）2+ b=0，解得：b1=4（舍去），b2=9，

∴P3（9，9 ）．

∵A2（6，0），点A2与A3关于x=9对称，

∴A3（12，0）．

P1（1， ），A1（2，0），

P2（4，4 ），A2（6，0），4=22，6=2×3；

P3（9，9 ），A3（12，0），9=32，12=3×4；

…

P2016（4064256，4064256 ），A2016（4066272，0）

【解析】（1）①过点P1作作P1B1⊥x轴，垂足为B1 ． 由等边三角形的性质可知可求得P1B1的长度，然后依据三角形的面积公式可求得△OP1A1的面积；②将点A1（2，0）、P1（1， ）代入抛物线的解析式，即可求得a、b的值；（2）先利用待定系数法求得直线OP1的解析式，然后设点P2（a， ）．则y2=﹣ （x﹣a）2+ a，接下来，将点A1的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（3）由a2=4，可求得点P2（4，4 ），然后依据抛物线的对称性可求得点A2（6，0），接下来，再求得P3（9，9 ），A3（12，0），最后观察所得结果找出其中的规律，依据规律可求得问题的答案．
【考点精析】通过灵活运用数与式的规律，掌握先从图形上寻找规律，然后验证规律，应用规律，即数形结合寻找规律即可以解答此题．