Question

【题目】已知，如图，在△ABC中，∠B=45°，∠BCA=30°，过点A、B、C三点作⊙O，过点C作⊙O的切线交BA延长线于点D，连接OA交BC于E．

（1）求证：OA∥CD；
（2）求证：△ABE∽△DCA；
（3）若OA=2，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OC，如图，

∵∠B=45°，

∴∠AOC=2∠B=90°，

∵CD为切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴OA∥CD

（2）证明：∵∠AOC=90°，OA=OC，

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴∠OCA=45°，

∴∠ACD=45°，

∴∠B=∠ACD，

∵OA∥CD，

∴∠BAE=∠D，

∴△ABE∽△DCA

（3）解：作AH⊥BC于H，如图，

∵△AOC为等腰直角三角形，

∴AC= OA=2 ，

在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，

∴AH= AC= ，CH= AH= ，

在Rt△ABH中，∵∠B=45°，

∴BH=AH= ，

∴BC=BH+CH= + ．

【解析】（1）连结OC，先利用圆周角定理得到∠AOC=2∠B=90°，再利用切线的性质得∠OCD=90°，根据平行线的判定即可得到结论；（2）先判断△AOC为等腰直角三角形得到∠OCA=45°，则∠ACD=45°=∠B，再利用平行线的性质得∠BAE=∠D，然后根据相似三角形的判定即可得到结论；（3）作AH⊥BC于H，如图，由△AOC为等腰直角三角形得到AC= OA=2 ，分别在Rt△ACH中和在Rt△ABH中利用含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质计算出BH和CH，从而得到BC的长．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．