Question

【题目】设Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，且4Sn=an（an+2）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= ，Tn=b1+b2+…+bn ， 求证：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解∵4Sn=an（an+2），① 当n=1时得 ，即a1=2，
当n≥2时有4Sn﹣1=an﹣1（an﹣1+2）②
由①﹣②得 ，即2（an+an﹣1）=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
又∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴an=2+2（n﹣1）=2n．
（Ⅱ）证明：∵ = = ，
∴Tn=b1+b2+…+bn= =
【解析】（I）利用数列递推关系即可得出．（II）利用裂项求和、数列的单调性即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．