Question

【题目】△ABC为等腰三角形，AB=AC

(1) 作BD⊥AC于D，若CD=2，BD=4，求AB的长度

(2) 若AB=2，E为BC延长线上一点，且AE=4．若BC∶CE=2∶3，判断△ABE的形状，并证明结论

Answer 1

【答案】（1）AB=5；（2）△ABE为直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）首先作AE⊥BC，交BC于点E，由BD⊥AC于D，CD=2，BD=4，得出BC，AE，又因为△ABC为等腰三角形，AB=AC，得出含有AB的△ABC面积的方程，即可得解.

（2）首先作AF⊥BC于F，因为△ABC为等腰三角形，AB=AC，得出BF=CF=BC，由勾股定理得出，又根据BC∶CE=2∶3，得出CE= BC，BE=BC，EF=2BC，通过等式变换，得出，即可得证△ABE为直角三角形.

解：（1）作AE⊥BC，交BC于点E，如图所示：

∵BD⊥AC于D，CD=2，BD=4，

∴

又∵△ABC为等腰三角形，AB=AC

∴

解得，AB=5

（2）△ABE为直角三角形，

证明：作AF⊥BC于F，如图所示，

∵△ABC为等腰三角形，AB=AC

∴BF=CF=BC

∴

又∵BC∶CE=2∶3，

∴CE= BC，BE=BC，EF=2BC

在Rt△AFE中，AE=4，根据勾股定理，

+=16

∴

又∵

∴△ABE为直角三角形，即得证.