Question

【题目】四边形ABCD为菱形，点E在边AD上，点F在边CD上

(1) 若AE=CF，求证：EB=BF

(2) 若AD=4，DE=CF，且△EFB为等边三角形，求四边形DEBF的面积

(3) 若∠DAB=60°，点H在边BC上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB，直接写出CF的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）S四边形DEBF=；（3）；

【解析】

（1）因为四边形ABCD为菱形，得出AB=BC，∠EAB=∠FBC，又由AE=CF，得出△ABE≌△BCF（SAS），进而得出EB=BF.

（2）连接BD，截取AH=CF，由（1）中得知，△ABE≌△BCF（SAS），得出BH=BF=BE，进而可知∠BHE=∠BEH，∠AHB=∠BED，从而可判定△DEB≌△AHB，得出AB=BD，可判定△DEB≌△CFB，进而得出四边形DEBF的面积等于菱形ABCD面积减去三角形ABD面积，即为三角形ABD的面积，即可得解.

（3）延长AD，作FM⊥AM，交于M，延长DC、AH交于点K，由∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB，可得出∠FAK=∠HAB=∠FKA，进而得出AF=FK，因此DF=4-CF，DM=2-CF，MF=（4-CF），进而得出AM=4+2-CF=6-CF，根据勾股定理，

进而得出关于CF的方程，即可求出CF.

（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，∠EAB=∠FBC，

又∵AE=CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS）

∴EB=BF.

（2）如图所示，连接BD，截取AH=CF

由（1）中得知，△ABE≌△BCF（SAS）

∴BH=BF=BE

∴∠BHE=∠BEH

∴∠AHB=∠BED

∴△DEB≌△AHB，

∴AB=BD

∴△DEB≌△CFB，

∴四边形DEBF的面积等于菱形ABCD面积减去三角形ABD面积，即为三角形ABD的面积，

S四边形DEBF==

（3）如图所示，延长AD，作FM⊥AM，交于M，延长DC、AH交于点K，

∵∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB

∴∠FAK=∠HAB=∠FKA

∴AF=FK

∴DF=4-CF，DM=2-CF，MF=（4-CF），

∴AM=4+2-CF=6-CF

又

∴CF=