Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A(a，0)、B(b，0)（a≠0），a、b满足＋b2＋2bc＋c2=0

(1) 直接写出a与b的关系

(2) 如图，将线段AB沿y轴的正方向平移m个单位得到线段PQ，点M在线段PQ上，QM=3MP，过M作MF∥PA交QA于点F，连接BM，BM平分∠PMF．若BM=，求m的值

(3) 如图，点C在第一象限内，且满足CA=OA，点E在x轴上，AE=BC，连接CE，取CE的中点N，连接NO．若∠BCA=α，求∠NOC（用含α的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）a+b=0；（2）m=3；（3）∠NOC=90°-0.5ɑ

【解析】

（1）首先由题意，可得出+=0，进而可得出；

（2）首先延长MF交x轴于F，得出MP，又因为MF∥PA，PM∥AH，得出四边形PMHA为平行四边形，进而得出AH和BH，又，即，再根据BM平分∠PMF，即，得出，在Rt△PBA中，，即得出

，即，，在Rt△PBM中，，即，将两个等式联立即可得出；

（3）首先在OA上取一点F，使得OF=OE，连接CF，由BO=AO，EO=OF，BC=AE，得出BC=BF，进而得出∠BCF=∠BFC，又由N为CE的中点，即EO=OF，得出NO∥CF，进而得出∠NOC=∠OCF，又由∠BFC=∠FCA+∠FAC，∠BCO+∠OCF=∠BCF，得出∠FCA+∠FAC=∠BCO+∠OCF，又∠COA=∠BCO+∠CBO，将两式联立，得∠OCF=∠FCA+∠FAC-∠COA+∠CBO，又因为∠FAC+∠CBO=180°-α，得出∠OCF=180°-α-∠COA+∠FCA，又因为∠COA=∠OCF+∠FCA，得出∠OCF=90°-，即∠NOC=90°-.

解：（1）由题意，得

＋b2＋2bc＋c2=0

+=0

∴

∴

（2）延长MF交x轴于F，如图所示

由题意得，P（b，m），Q（a，m）

又∵QM=3MP，

∴

又∵MF∥PA，PM∥AH

∴四边形PMHA为平行四边形

∴，

又，即

BM平分∠PMF，即

∴，即

在Rt△PBA中，，，即①

在Rt△PBM中，，即

②

联立①②，解得

.

（3）在OA上取一点F，使得OF=OE，连接CF，如图所示，

∵BO=AO，EO=OF，BC=AE，

∴BC=BF，

∴∠BCF=∠BFC，

又∵N为CE的中点，即EO=OF

∴NO∥CF

∴∠NOC=∠OCF

又∵∠BFC=∠FCA+∠FAC，∠BCO+∠OCF=∠BCF

∴∠FCA+∠FAC=∠BCO+∠OCF①

又∠COA=∠BCO+∠CBO②

①②联立，得∠OCF=∠FCA+∠FAC-∠COA+∠CBO

∵∠FAC+∠CBO=180°-α

∴∠OCF=180°-α-∠COA+∠FCA

又∵∠COA=∠OCF+∠FCA

∴∠OCF=90°-

即∠NOC=90°-