Question

【题目】已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OB、OD、OC，

∵ABCD是菱形，

∴CD=CB，

∵OC=OC，OD=OB，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠ODC=∠OBC，

∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，

∴∠OBC=∠ODC=90°，

即OB⊥BC，点B在⊙O上，

∴BC与⊙O相切．

（2）解：∵ABCD是菱形，

∴∠A=∠DCB，

∵∠DOB与∠A所对的弧都是 ，

∴∠DOB=2∠A，

由（1）知∠DOB+∠C=180°，

∴∠DOB=120°，∠DOC=60°，

∵OD=1，∴OC=2，DC=

∴S阴影=2S△DOC﹣S扇形OBD=2× ×1× ﹣ = ﹣ π．

【解析】（1）连结OB、OD、OC，只要证明△OCD≌△OCB，推出∠ODC=∠OBC，由CD与⊙O相切推出OD⊥CD，推出∠OBC=∠ODC=90°，由此即可证明；（2）根据S阴影=2S△DOC﹣S扇形OBD计算即可；
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和扇形面积计算公式，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）即可以解答此题．